Question

2．已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∠BCA=90°，AC=BC=2，A₁在底面ABC上的射影恰為AC的中點(diǎn)D，BA₁⊥AC₁．
（1）求證：AC₁⊥平面A₁BC；
（2）求斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積V；
（3）求二面角A-A₁B-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由已知條件推導(dǎo)出平面A₁ACC₁⊥平面ABC，BC⊥AC₁，AC₁⊥BA₁，由此能夠證明AC₁⊥平面A₁BC．
（2）A₁在底面ABC上的射影為AC的中點(diǎn)D，可得A₁D為斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的高，求出高與底面積可得斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積V；
（3）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面A₁AB的法向量和平面A₁BC的法向量，利用向量法能求出二面角A-A₁B-C的余弦值

解答 （1）證明：∵A₁在底面ABC上的射影為AC的中點(diǎn)D，
∴平面A₁ACC₁⊥平面ABC，
∵BC⊥AC且平面A₁ACC₁∩平面ABC=AC，
∴BC⊥平面A₁ACC₁，
∴BC⊥AC₁，
∵AC₁⊥BA₁且BC∩BA₁=B，
∴AC₁⊥平面A₁BC．
（2）解：由（1）知，AC₁⊥A₁C，可得AA₁=AC，
∵A₁在底面ABC上的射影為AC的中點(diǎn)D，
∴AA₁=A₁C，
∴△AA₁C是等邊三角形，
∴A₁D=$\sqrt{3}$，
∵A₁在底面ABC上的射影為AC的中點(diǎn)D，
∴A₁D為斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的高，
∵∠BCA=90°，AC=BC=2，
∴斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面積為$\frac{1}{2}×2×2$=2，
∴斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積為2$\sqrt{3}$；
（3）解：如圖所示，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，
∵AC₁⊥平面A1BC，
∴AC₁⊥A₁C，
∴四邊形A₁ACC₁是菱形，
∵D是AC的中點(diǎn)，
∴∠A₁AD=60°，
∴A（2，0，0），A₁（1，0，$\sqrt{3}$），B（0，2，0），
C₁（-1，0，$\sqrt{3}$），C（0，0，0），B₁（0，2，$\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{{A}_{1}A}$=（1，0，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{AB}$=（-2，2，0），$\overrightarrow{C{B}_{1}}$=（0，2，$\sqrt{3}$），
設(shè)平面A₁AB的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-\sqrt{3}z=0}\\{-2x+2y=0}\end{array}\right.$，
令z=1，∴$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$，1），
∴設(shè)CB₁與平面A₁AB所成角為θ，
平面A₁BC的法向量$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（-3，0，$\sqrt{3}$），
∴cos＜$\overrightarrow{A{C}_{1}}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{-3\sqrt{3}+\sqrt{3}}{\sqrt{7}×\sqrt{12}}$=-$\frac{\sqrt{7}}{7}$，
設(shè)二面角A-A₁B-C的平面角為α，α為銳角，
∴cosα=$\frac{\sqrt{7}}{7}$，
∴二面角A-A₁B-C的余弦值為$\frac{\sqrt{7}}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面垂直的證明，考查斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積的求法，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要注意向量法的合理運(yùn)用．