Question

設(shè)函數(shù)f（x）=sin²x+cos（2x+

π

3

）
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最大值及此時(shí)x的取值集合；
（Ⅱ）設(shè)A，B，C為△ABC的三個(gè)內(nèi)角，若cosB=

1

3

，f（

C

2

）=-

1

4

，且C為銳角，求sinA的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦定理

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）利用三角恒等變換公式化簡(jiǎn)f（x）=

1-cos2x

2

+

1

2

cos2x-

3

2

sin2x=

1

2

-

3

2

sin2x，從而求最大值及最大值點(diǎn)；
（Ⅱ）由f（

C

2

）=

1

2

-

3

2

sinC=-

1

4

可得sinC=

3

2

，從而得到C=

π

3

，則sinA=sin（

2π

3

-B）=

3

2

cosB+

1

2

sinB，從而求值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=

1-cos2x

2

+

1

2

cos2x-

3

2

sin2x=

1

2

-

3

2

sin2x，…（2分）
∴當(dāng)sin2x=-1時(shí)，
f（x）_max=

1+ 3

2

；                                     …（4分）
此時(shí)2x=2kπ-

π

2

（k∈Z），
∴x的取值集合為{x|x=kπ-

π

4

，k∈Z}．                      …（6分）
（Ⅱ）∵f（

C

2

）=

1

2

-

3

2

sinC=-

1

4

，
∴sinC=

3

2

，
∵C為銳角，
∴C=

π

3

，…（8分）
由cosB=

1

3

得sinB=

1-cos2B

=

2 2

3

，
∴sinA=sin（

2π

3

-B）=

3

2

cosB+

1

2

sinB=

3 +2 2

6

．       …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角恒變換及三角函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．