Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，且過點P(

2

2

，

1

2

)，記橢圓的左頂點為A．
（1）求橢圓的方程；
（2）設垂直于y軸的直線l交橢圓于B，C兩點，試求△ABC面積的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,橢圓的標準方程

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）根據橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，且過點P(

2

2

，

1

2

)，建立方程，求出幾何量，從而可得橢圓C的方程；
（2）設B（m，n），C（-m，n），則S_△ABC=

1

2

×2|m|×|n|=|m|•|n|，利用基本不等式可求△ABC面積的最大值

解答： 解：（1）∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，且過點P(

2

2

，

1

2

)，
∴

c

a

=

2

2

，

1 2

a2

+

1 4

b2

=1，
∴a=1，b=c=

2

2

，
所以橢圓C的方程為x²+2y²=1；
（2）設B（m，n），C（-m，n），則S_△ABC=

1

2

×2|m|×|n|=|m|•|n|，
又1=m²+2n²≥2

2

|m|•|n|，所以|m|•|n|≤

2

4

，當且僅當|m|=

2

|n|時取等號…8分
從而S_△ABC≤

2

4

，即△ABC面積的最大值為

2

4

．

點評：本題考查橢圓的性質與方程，考查三角形面積的計算，考查基本不等式的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．