Question

在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2．以AC的中點O為球心、AC為直徑的球面交PD于點M，交PC于點N．
（Ⅰ）求證：平面ABM⊥平面PCD；
（Ⅱ）求直線CD與平面ACM所成的角的正弦值；
（Ⅲ）求點N到平面ACM的距離．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算,平面與平面垂直的判定,直線與平面所成的角

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）要證平面ABM⊥平面PCD，只需證明平面PCD內的直線PD，垂直平面PAD內的兩條相交直線BM、AB即可；
（Ⅱ）先根據(jù)體積相等求出D到平面ACM的距離為h，即可求直線PC與平面ABM所成的角；
（Ⅲ）先根據(jù)條件分析出所求距離等于點P到平面ACM距離的

5

9

，設點P到平面ACM距離為h，再利用第二問的結論即可得到答案．

解答： （Ⅰ）證明：依題設知，AC是所作球面的直徑，
則AM⊥MC．
又因為P A⊥平面ABCD，則PA⊥CD，又CD⊥AD，
所以CD⊥平面PAD，則CD⊥AM，
所以A M⊥平面PCD，
所以平面ABM⊥平面PCD--------（5分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，AM⊥PD，又PA=AD，則M是PD的中點可得AM=2

2

，MC=

MD2+CD2

=2

3

則S△ACM=

1

2

AM•MC=2

6

，
設D到平面ACM的距離為h，
由V_D-ACM=V_M-ACD即2

6

h=8，
可求得h=

2 6

3

，
設所求角為θ，則sinθ=

h

CD

=

6

3

．--------（10分）
（Ⅲ）解：可求得PC=6，因為AN⊥NC，由

PN

PA

=

PA

PC

，得PN=

8

3

，
所以NC：PC=5：9，
故N點到平面ACM的距離等于P點到平面ACM距離的

5

9

．
又因為M是PD的中點，則P、D到平面ACM的距離相等，
由（Ⅱ）可知所求距離為

5

9

h=

10 6

27

．--------（14分）

點評：本題考查直線與平面所成的角，平面與平面垂直的判定，三垂線定理，考查空間想象能力，邏輯思維能力，計算能力，是中檔題．