Question

14．設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S₄=4S₂，a_2n=2a_n+1
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足$\frac{_{1}}{{a}_{1}}$+$\frac{_{2}}{{a}_{2}}$+$\frac{_{3}}{{a}_{3}}$+…+$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$，n∈N^*，求{b_n}的前n項(xiàng)和T_n；
（3）是否存在實(shí)數(shù)K，使得T_n≥K恒成立．若有，求出K的最大值，若沒有，說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由S₄=4S₂，a_2n=2a_n+1，可得4a₁+$\frac{4×3}{2}$d=4（2a₁+d），a₂=a₁+d=2a₁+1，聯(lián)立解出即可得出．
（2）由數(shù)列{b_n}滿足$\frac{_{1}}{{a}_{1}}$+$\frac{_{2}}{{a}_{2}}$+$\frac{_{3}}{{a}_{3}}$+…+$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$，可得當(dāng)n=1時，$\frac{_{1}}{{a}_{1}}$=1-$\frac{1}{2}$，解得b₁；當(dāng)n≥2時，可得：$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$，b_n=$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$．再利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出T_n．
（3）T_n≥K，即3-$\frac{2n+3}{{2}^{n}}$≥k．由于數(shù)列$\{\frac{2n+3}{{2}^{n}}\}$單調(diào)遞減，即可得出．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，∵S₄=4S₂，a_2n=2a_n+1，
∴4a₁+$\frac{4×3}{2}$d=4（2a₁+d），a₂=a₁+d=2a₁+1，
解得a₁=1，d=2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）∵數(shù)列{b_n}滿足$\frac{_{1}}{{a}_{1}}$+$\frac{_{2}}{{a}_{2}}$+$\frac{_{3}}{{a}_{3}}$+…+$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴當(dāng)n=1時，$\frac{_{1}}{{a}_{1}}$=1-$\frac{1}{2}$，解得b₁=$\frac{1}{2}$；
當(dāng)n≥2時，$\frac{_{1}}{{a}_{1}}$+$\frac{_{2}}{{a}_{2}}$+$\frac{_{3}}{{a}_{3}}$+…+$\frac{_{n-1}}{{a}_{n-1}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
可得：$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$-$（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）$=$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴b_n=$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$（n=1時也成立）．
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=$\frac{1}{2}+\frac{3}{{2}^{2}}$+…+$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{2n-3}{{2}^{n}}$+$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$，
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{2}+2（\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}）$-$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{2×\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{1}{2}$-$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{3}{2}$-$\frac{2n+3}{{2}^{n+1}}$，
∴T_n=3-$\frac{2n+3}{{2}^{n}}$．
（3）T_n≥K，即3-$\frac{2n+3}{{2}^{n}}$≥k．
由于數(shù)列$\{\frac{2n+3}{{2}^{n}}\}$單調(diào)遞減，
因此存在實(shí)數(shù)K=$3-\frac{2+3}{2}$=$\frac{1}{2}$，使得T_n≥K恒成立．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、遞推關(guān)系、“錯位相減法”、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．