Question

已知函數(shù)f（x）=4cosxsin（x+

π

3

）-

3

．
（I）求f（x）在區(qū)間[2015π，2016π]上的取值范圍；
（Ⅱ）若f（α）=

1

2

，求sin（4α+

7π

6

）的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：計算題,三角函數(shù)的求值

分析：（I）由三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用化簡函數(shù)解析式可得f（x）=2sin（2x+

π

3

），由f（x）的最小正周期為π，且x∈[2015π，2016π]，即可解得取值范圍．
（Ⅱ）由f（α）=

1

2

，可得sin（2α+

π

3

）=

1

4

，從而由sin（4α+

7π

6

）=1-2sin²（2α+

π

3

）即可得解．

解答： 解：（I）f（x）=4cosxsin（x+

π

3

）-

3

=4cosxsinxcos

π

3

+4cosxcosxsin

π

3

-

3

=2cosxsinx+2

3

cos²x-

3

=sin2x+

3

cos2x
=2sin（2x+

π

3

）
∵f（x）的最小正周期為π，且x∈[2015π，2016π]，
∴f（x）∈[-2，2]
（Ⅱ）∵f（α）=

1

2

，
∴sin（2α+

π

3

）=

1

4

，
∴sin（4α+

7π

6

）=sin（

π

2

+4α+

2π

3

）
=cos（4α+

2π

3

）
=1-2sin²（2α+

π

3

）=

7

8

點(diǎn)評：本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，特殊角的三角函數(shù)值和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基本知識的考查．