Question

已知遞增的等比數(shù)列{a_n}滿足：a₂+a₃+a₄=28，a₃+2是a₂與a₄的等差中項．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）假設(shè)b_n=

an

(an+1)(an+1+1)

，其數(shù)列{b_n}的前n項和T_n，并解不等式T_n＜

127

390

．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出

a1q2=8 a1q+a1q3=20

，由此求出首項和公比，從而得到an=2n．
（2）先求出b_n=

1

2n +1

-

1

2n+1+1

，由此利用裂項求和法能求出T_n=

1

3

-

1

2n+1+1

，再由T_n＜

127

390

，得到2ⁿ⁺¹＜129，由此能求出不等式T_n＜

127

390

的解集．

解答： 解：（1）∵遞增的等比數(shù)列{a_n}滿足：a₂+a₃+a₄=28，a₃+2是a₂與a₄的等差中項，
∴2（a₃+2）=a₂+a₄，a₃=8，a₂+a₄=80，
∴

a1q2=8 a1q+a1q3=20

，
解得a₁=2，q=2，或a1=32，q=

1

2

（舍），
∴an=2n．
（2）b_n=

an

(an+1)(an+1+1)

=

2n

(2n+1)(2n+1+1)

=

1

2n +1

-

1

2n+1+1

，
∴T_n=

1

2+1

-

1

22 +1

+

1

22+1

-

1

23-1

+…+

1

2n-1+1

-

1

2n  +1

+

1

2n+1

-

1

2n+1+1

=

1

2+1

-

1

2n+1  +1

=

1

3

-

1

2n+1+1

，
∵T_n＜

127

390

，
∴

1

3

-

1

2n+1+1

＜

127

130

，∴2ⁿ⁺¹＜129，解得n≤6，
∴不等式T_n＜

127

390

的解集為{1，2，3，4，5，6}．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式和前n項和的求法，解題時要認真審題，注意裂項求和法的合理運用．