Question

14．求函數(shù)f（x）=3-2asinx-cos²x的最小值．

Answer 1

分析 利用平方關(guān)系化簡f（x）的解析式，設(shè)t=sinx則t∈[-1，1]，代入原函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次函數(shù)，利用配方法化簡，根據(jù)定義域?qū)��?duì)稱軸a進(jìn)行分類討論，分別由二次函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最小值．

解答 解：f（x）=3-2asinx-cos²x=2-2asinx+sin²x，
設(shè)t=sinx則t∈[-1，1]，則y=t²-2at+2=（t-a）²+2-a²，
①當(dāng)a≤-1時(shí)，函數(shù)y=t²-2at+2在[-1，1]上遞增，
∴當(dāng)t=-1時(shí)，函數(shù)y取到最小值是：1+2a+2=2a+3，
②當(dāng)-1＜a＜1時(shí)，當(dāng)t=a時(shí)，y的最小值是-a²+2；
③當(dāng)a≥1時(shí)，函數(shù)y=t²-2at+2在[-1，1]上遞增減，
∴當(dāng)t=1時(shí)，y的最小值是1-2a+2=-2a+3，
綜上可得，${y_{min}}=\left\{{\begin{array}{l}{2a+3（a≤-1）}\\{-{a^2}+2（-1＜a＜1）}\\{-2a+3（a≥1）}\end{array}}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦函數(shù)的性質(zhì)，平方關(guān)系，利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的問題，考查分類討論思想．