Question

設(shè)a，b＞0，a≠b，lna-lnb=a-b，給出下列結(jié)論：
①0＜ab＜1；②0＜a+b＜2；③a+b-ab＞1．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（　�。�

• A、①②
• B、①③
• C、②③
• D、①②③

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：lna-lnb=a-b，化為lna-a=lnb-b．令f（x）=lnx-x，（x＞0），利用導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)f（x）的單調(diào)性，畫出圖象．不妨設(shè)0＜a＜b．0＜a＜1＜b．0＜

1

b

＜1．
①證明ab＜1，只要證明f(a)＜f(

1

b

)即可，即證明lnb-b＜ln

1

b

-

1

b

，化為g（b）=2lnb-b+

1

b

＜0，（b＞1）．利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出．
②由圖象可得b-1＞1-a，可得a+b＞2，即可判斷出正誤；
③由圖象可得：（a-1）（b-1）＜0，化簡即可判斷出正誤．

解答： 解：lna-lnb=a-b，化為lna-a=lnb-b．
令f（x）=lnx-x，（x＞0），
f′（x）=

1

x

-1=

1-x

x

，
當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
∴當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值，f（1）=-1．
∵a，b＞0，a≠b，不妨設(shè)0＜a＜b．
又f（a）=f（b），
則0＜a＜1＜b．0＜

1

b

＜1．
①證明ab＜1，只要證明a＜

1

b

，
∵0＜a＜

1

b

＜1，
∴只要證明f(a)＜f(

1

b

)即可，
∵f（a）=f（b），
∴只要證明f（b）＜f(

1

b

)即可，
即證明lnb-b＜ln

1

b

-

1

b

，
化為g（b）=2lnb-b+

1

b

＜0，（b＞1）．
g′（b）=

2

b

-1-

1

b2

=

-(b-1)2

b2

＜0，
∴函數(shù)g（b）在b＞1時(shí)單調(diào)遞減，
∴g（b）＜g（1）=0，
因此f（b）＜f(

1

b

)成立，即f(a)＜f(

1

b

)成立，
∴a＜

1

b

＜1，
∴0＜ab＜1正確，①正確．
②由圖象可得b-1＞1-a，∴a+b＞2，∴②不正確；
③∵（a-1）（b-1）＜0，∴a+b-ab＞1，因此③正確．
綜上可得：①③正確．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、證明不等式，考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．