Question

2．已知F₁，F₂是橢圓的兩個焦點，過F₁且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓于A，B兩點，若△ABF₂是正三角形，求橢圓的離心率．
本例中將條件“過F₁且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓于A，B兩點，若△ABF₂是正三角形”改為“A為y軸上一點，AF₁的中點恰好在橢圓上，若△AF₁F₂為正三角形”，如何求橢圓的離心率？
“若△ABF₂是正三角形”換成“橢圓的焦點在x軸上，且A點的縱坐標等于短半軸長的$\frac{2}{3}$”求橢圓的離心率．

Answer 1

分析 由△ABF₂是正三角形可知|AF₁|=tan30°•|F₁F₂|，即a²-c²=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$ca，由此推導出這個橢圓的離心率；
變式1．運用等邊三角形的性質和橢圓的定義，及離心率公式，計算即可得到所求；
變式2．由題意可得，$\frac{^{2}}{a}$=$\frac{2}{3}$b，運用離心率公式計算即可得到..

解答 解：△ABF₂是正三角形，可得|AF₁|=tan30°•|F₁F₂|，
∴$\frac{^{2}}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$c，
即a²-c²=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$ca，由e=$\frac{c}{a}$，可得
e²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$e-1=0，
解之得：e=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（負值舍去）．
即有離心率為$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
變式1．設AF₁的中點M恰好在橢圓上，
由題意可得|MF₁|=c，|MF₂|=$\sqrt{3}$c，
由橢圓的定義可得2a=|MF₁|+|MF₂|=（1+$\sqrt{3}$）c，
即有離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{1+\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$-1；
變式2．由題意可得$\frac{^{2}}{a}$=$\frac{2}{3}$b，即有2a=3b，
c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}-\frac{4}{9}{a}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$a，
則離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$．

點評 本題考查橢圓的基本性質及其應用，主要考查橢圓的離心率的求法，考查運算能力，屬于中檔題..