Question

11．已知向量$\overrightarrow a=（m，n）（m≥0，n≥0），\overrightarrow b=（2，-3），\overrightarrow c=（3，-2）$，滿足$\overrightarrow a•\overrightarrow b≥$-3，且$\overrightarrow a•\overrightarrow c≤3$，則$|\overrightarrow a|$的最大值為3$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根據條件可以得出m，n滿足的條件為$\left\{\begin{array}{l}{2m-3n≥-3}\\{3m-2n≤3}\\{m≥0}\\{n≥0}\end{array}\right.$，可以作出該不等式組所表示的平面區(qū)域，根據圖形即可求出圓m²+n²=r²的半徑的最大值，即得出$|\overrightarrow{a}|$的最大值．

解答 解：由$\overrightarrow{a}•\overrightarrow≥-3$且$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}≤3$得：$\left\{\begin{array}{l}{2m-3n≥-3}\\{3m-2n≤3}\\{m≥0}\\{n≥0}\end{array}\right.$；
該不等式表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示：
解$\left\{\begin{array}{l}{2m-3n=-3}\\{3m-2n=3}\end{array}\right.$得，$\left\{\begin{array}{l}{m=3}\\{n=3}\end{array}\right.$；
∴圓m²+n²=r²過A（3，3）時半徑最大；
∴9+9=r²；
∴$r=3\sqrt{2}$，$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$；
∴$|\overrightarrow{a}|$的最大值為$3\sqrt{2}$．
故答案為：$3\sqrt{2}$．

點評 考查向量數量積的坐標運算，根據向量的坐標求向量的長度，以及能作出不等式組所表示的平面區(qū)域，線性規(guī)劃的方法求最值．