Question

7．已知數(shù)列{a_n}，a₁=1，a_n+1=2a_n+（-1）ⁿ（n∈N^*）．
（1）是否存在實(shí)數(shù)λ，使得數(shù)列{a_2n-1+λ}成等比數(shù)列，若存在，求出λ的值，若不存在，請說明理由；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）化簡可得a_2n+1=2a_2n+1，a_2n=2a_2n-1-1，從而可得（a_2n+1-$\frac{1}{3}$）=4（a_2n-1-$\frac{1}{3}$），從而判斷；
（2）由（1）知a_2n-1-$\frac{1}{3}$=$\frac{2}{3}$•4^n-1，從而可得a_2n-1+a_2n=2•4^n-1，從而分類討論即可．

解答 解：（1）∵a_n+1=2a_n+（-1）ⁿ，
∴a_2n+1=2a_2n+（-1）²ⁿ，a_2n=2a_2n-1+（-1）^2n-1，
即a_2n+1=2a_2n+1，a_2n=2a_2n-1-1，
a_2n+1=2（2a_2n-1-1）+1=4a_2n-1-1，
即（a_2n+1-$\frac{1}{3}$）=4（a_2n-1-$\frac{1}{3}$），
∵a₁-$\frac{1}{3}$=$\frac{2}{3}$≠0，
∴當(dāng)λ=-$\frac{1}{3}$時(shí)，數(shù)列{a_2n-1-$\frac{1}{3}$}是以$\frac{2}{3}$為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，
（2）由題意知，a_2n-1-$\frac{1}{3}$=$\frac{2}{3}$•4^n-1，
故a_2n-1=$\frac{2}{3}$•4^n-1+$\frac{1}{3}$，故a_2n=2（$\frac{2}{3}$•4^n-1+$\frac{1}{3}$）-1=$\frac{{4}^{n}}{3}$-$\frac{1}{3}$，
故a_2n-1+a_2n=2•4^n-1，
①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，
S_n=1+3+5+11+…+$\frac{{4}^{\frac{n-1}{2}}}{3}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{2}{3}$•${4}^{\frac{n-1}{2}}$+$\frac{1}{3}$
=2•${4}^{\frac{n-1}{2}}$+$\frac{2}{3}$•${4}^{\frac{n-1}{2}}$+$\frac{1}{3}$
=$\frac{8}{3}$•${4}^{\frac{n-1}{2}}$+$\frac{1}{3}$；
②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，
S_n=1+3+5+11+…+$\frac{{4}^{\frac{n}{2}}}{3}$-$\frac{1}{3}$=2•${4}^{\frac{n}{2}-1}$．

點(diǎn)評 本題考查了分類討論的思想應(yīng)用及構(gòu)造法的應(yīng)用．