Question

求證：當(dāng)x∈R時，任意f（x）都可以寫成一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的和．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先假設(shè)f（x）=g（x）+h（x）是存在的，再根據(jù)函數(shù)的奇偶性構(gòu)造方程組，求出g（x）和h（x）的解析式，再由奇（偶）進(jìn)行驗(yàn)證即可．

解答： 證明：設(shè)g（x）是R上的奇函數(shù)，h（x）是R上的偶函數(shù)，
先假設(shè)f（x）=g（x）+h（x）是存在的，則f（-x）=g（-x）+h（-x），
∵奇函數(shù)性質(zhì)：g（x）=-g（-x），
偶函數(shù)性質(zhì)：h（x）=h（-x）
∴

f(x)+f(-x)=2h(x) f(x)-f(-x)=2g(x)

，
解得g(x)=

f(x)-f(-x)

2

，h(x)=

f(x)+f(-x)

2

，
則驗(yàn)證得，g（x）為R上的奇函數(shù)，h（x）為R上的偶函數(shù)，
由此我們得出結(jié)論，當(dāng)x∈R時，對任意的f（x），我們能夠構(gòu)造這么兩個函數(shù) 
g(x)=

f(x)-f(-x)

2

是奇函數(shù)，h(x)=

f(x)+f(-x)

2

是偶函數(shù)，且f（x）=g（x）+h（x）．

點(diǎn)評：本題是探究性的證明題，考查了函數(shù)奇偶性的定義及性質(zhì)的應(yīng)用，以及方程思想．