Question

已知橢圓C₁的中心在坐標原點，兩焦點分別為F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），點A（2，3）在橢圓C₁上，又拋物線C₂：x²=2py（p＞0）通徑所在直線被橢圓C₁所截得的線段長為

4

3

33

（1）求橢圓C₁和拋物線C₂的方程；
（2）過點A的直線L與拋物線C₂交于B、C兩點，拋物線C₂在點B、C處的切線分別為l₁、l₂，且l₁與l₂交于點P．是否存在滿足|PF₁|+|PF₂|=|AF₁|+|AF₂|的點P？若存在，指出這樣的點P有幾個（不必求出點P的坐標），若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）利用橢圓的定義，可得橢圓的標準方程；根據(jù)拋物線C₂：x²=2py（p＞0）通徑所在直線被橢圓C₁所截得的線段長為

4

3

33

，即可求出拋物線C₂的方程；
（2）設出點B，C的坐標，利用A，B，C三點共線即可得出坐標之間的關系，利用導數(shù)的幾何意義可得切線的斜率，在得出切線的方程，即可得出交點P的坐標代入上面得到的關系式即可得到交點P的軌跡方程．由|PF₁|+|PF₂|=|AF₁|+|AF₂|，則點P在橢圓C₁上，而點P又在直線y=x-3上，直線經(jīng)過橢圓C₁的內(nèi)部一點（3，0），即可判斷出其交點個數(shù)．

解答： 解：（1）設橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，根據(jù)橢圓的定義可得2a=|AF₁|+|AF₂|=8，
∴a=4，
∵c=2，
∴b²=a²-c²=12，
∴橢圓C₁的方程為：

x2

16

+

y2

12

=1；
∵拋物線C₂：x²=2py（p＞0）通徑所在直線被橢圓C₁所截得的線段長為

4

3

33

，
∴y=

p

2

代入橢圓C₁的方程，可得x=±

16- p2 3

，
∴2

16- p2 3

=

4

3

33

，
∴p=2，
∴拋物線C₂：x²=4y；
（2）設點B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），P（x₀，y₀），
由x²=4y，即y=

1

4

x²，得y'=

1

2

x
∴拋物線C₂在點B處的切線l₁的方程為y-y₁=

x1

2

（x-x₁），
∵y₁=

1

4

x₁²，∴y=

x1

2

-y₁，
∵點P（x₀，y₀）在切線l₁上，∴y₀=

x1

2

x₀-y₁．①
同理，y₀=

x2

2

x₀-y₂．②
綜合①②得點B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）的坐標都滿足方程y₀=

x

2

x₀-y．
∵經(jīng)過B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）的直線是唯一的，
∴直線L的方程為y₀=

x

2

x₀-y，
∵點A（2，3）在直線L上，
∴y₀=x₀-3．
∴點P的軌跡方程為y=x-3
若|PF₁|+|PF₂|=|AF₁|+|AF₂|，則點P在橢圓C₁上，又在直線y=x-3上，
∵直線y=x-3經(jīng)過橢圓C₁內(nèi)一點（3，0），∴直線y=x-3與橢圓C₁交于兩點．
∴滿足|PF₁|+|PF₂|=|AF₁|+|AF₂|的點P有兩個．

點評：本題主要考查橢圓、拋物線曲線的切線等基礎知識，考查數(shù)形結合、函數(shù)與方程、化歸于轉化的數(shù)學數(shù)學方法，以及推理論證能力、計算能力、創(chuàng)新意識．