Question

4．已知函數(shù)f（x）=x³-3ax²+2bx在點(diǎn)x=1處有極小值-1，
（1）求a，b的值     
（2）求出f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（3）求x=2處的切線方程．

Answer 1

分析 （1）已知函數(shù)f（x）=x³-3ax²+2bx在x=1處有極小值-1，即f（1）=-1，f′（1）=0，所以先求導(dǎo)函數(shù)，再代入列方程組，即可解得a、b的值；
（2）分別解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0，即可得函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間與單調(diào)遞減區(qū)間；
（3）求導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率，即可求x=2處的切線方程．

解答 解：（1）∵f′（x）=3x²-6ax+2b，函數(shù)f（x）=x³-3ax²+2bx在x=1處有極小值-1，
∴f（1）=-1，f′（1）=0
∴1-3a+2b=-1，3-6a+2b=0
解得a=$\frac{1}{3}$，b=-$\frac{1}{2}$，
∴f（x）=x³-x²-x；（4分）
（2）∵f′（x）=3x²-2x-1
∴由f′（x）=3x²-2x-1＞0得x＞1或x＜-$\frac{1}{3}$，
即$（{-∞，-\frac{1}{3}}）與（{1，+∞}）$為函數(shù)f（x）單調(diào)遞增區(qū)間  （8分）
由f′（x）=3x²-2x-1＜0得-$\frac{1}{3}$＜x＜1，
即$（{-\frac{1}{3}，1}）$為函數(shù)f（x）單調(diào)遞減區(qū)間          （10分）
（3）k=f'（2）=32²-2•2-1=7，f（2）=2³-2²-2=2，即x=2處的切線方程為y-2=7（x-2），（13分）
即切線方程為：y-7x+12=0（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)極值中的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于中檔題．