Question

20．設{a_n}為等差數(shù)列，S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，已知a₂+a₅=1，S₁₅=75，T_n為數(shù)列$\left\{{\frac{S_n}{n}}\right\}$的前n項和（n∈N^*）．
（1）求S_n；
（2）求T_n，及T_n的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式即可得出；
（2）由于$\frac{S_n}{n}=\frac{n-5}{2}$，利用等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式可得T_n，再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）∵{a_n}為等差數(shù)列，首項為a₁，公差設為d，
則依題意有$\left\{\begin{array}{l}（{a_1}+d）+（{a_1}+4d）=1\\ 15{a_1}+\frac{15×14}{2}d=75\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=-2\\ d=1\end{array}\right.$，
∴${S_n}={a_1}n+\frac{n（n-1）}{2}d=-2n+\frac{n（n-1）}{2}=\frac{{{n^2}-5n}}{2}$．
（2）∵${S_n}=\frac{{{n^2}-5n}}{2}$，∴$\frac{S_n}{n}=\frac{n-5}{2}$．
設${b_n}=\frac{S_n}{n}=\frac{n-5}{2}$，則${b_{n+1}}-{b_n}=\frac{（n+1）-5}{2}-\frac{n-5}{2}=\frac{1}{2}$，
∴數(shù)列{b_n}是公差為$\frac{1}{2}$的等差數(shù)列，首項為${b_1}=\frac{S_1}{1}={a_1}=-2$，
T_n為數(shù)列$\left\{{\frac{S_n}{n}}\right\}$的前n項和，
∴${T_n}=-2n+\frac{n（n-1）}{2}•\frac{1}{2}=\frac{{{n^2}-9n}}{4}$．
又∵$y=\frac{{{x^2}-9x}}{4}$圖象開口向上，對稱軸為$x=\frac{9}{2}$，且n∈N^*，
∴n=4或n=5時，${（{T_n}）_{min}}=\frac{{{4^2}-9×4}}{4}=-5$．

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．