Question

11．△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b，c且2sin²$\frac{A+B}{2}$=1+cos2C
（Ⅰ）求角C的大��；
（Ⅱ）若c=$\sqrt{3}$，求△ABC的面積S的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)題意和二倍角的余弦公式化簡(jiǎn)式子，得出關(guān)系式求出cosC的值，由內(nèi)角的范圍和特殊角的余弦值，求出C；
（Ⅱ）利用余弦定理列出關(guān)系式，將c與cosC的值代入，利用基本不等式求出ab的范圍，再利用面積公式即可求出S的范圍．

解答 解：（Ⅰ）由題意得，2sin²$\frac{A+B}{2}$=1+cos2C，
∴1-cos（A+B）=2cos²C，
又cos（A+B）=cos（π-C）=-cosC，
∴2cos²C-cosC-1=0，解得cosC=$-\frac{1}{2}$或1，
∵0＜C＜π，∴cosC=$-\frac{1}{2}$，則C=$\frac{2π}{3}$；
（Ⅱ）∵C=$\frac{2π}{3}$，c=$\sqrt{3}$，
∴由余弦定理得，c²=a²+b²-2abcosC，
3=a²+b²-2ab（$-\frac{1}{2}$），解得3=a²+b²+ab，
∴3-ab=a²+b²≥2ab，解得ab≤1，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)，
∴△ABC的面積S=$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ab≤$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴△ABC的面積S的取值范圍是（0，$\frac{\sqrt{3}}{4}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查余弦定理，三角形的面積公式，以及基本不等式求最值的應(yīng)用，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．