Question

2．已知函數(shù)g（x）=2aln（x+1）+x²-2x
（1）當(dāng)a≠0時(shí)，討論函數(shù)g（x）的單調(diào)性：
（2）若函數(shù)f（x）的圖象上存在不同兩點(diǎn)A，B，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為（x₀，y₀），使得f（x）在點(diǎn)Q（x₀，f（x₀））處的切線l與直線AB平行或重合，則說函數(shù)f（x）是“中值平衡函數(shù)”，切線l叫做函數(shù)f（x）的“中值平衡切線”．試判斷函數(shù)g（x）是否是“中值平衡函數(shù)”？若是，判斷函數(shù)g（x）的“中值平衡切線”的條數(shù)；若不是，說明理由．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，得到函數(shù)的單調(diào)性；
（2）先假設(shè)函數(shù)是“中值平衡函數(shù)”，結(jié)合定義得到aln$\frac{1{+x}_{1}}{1{+x}_{2}}$=$\frac{2a{（x}_{1}{-x}_{2}）}{1{+x}_{1}+1{+x}_{2}}$，（*），通過討論a的范圍，從而確定結(jié)論．

解答 解：（1）g′（x）=$\frac{2a}{x+1}$+2x-2=$\frac{2{（x}^{2}+a-1）}{x+1}$，
當(dāng)1-a≤0即a≥1時(shí)，g′（x）≥0，函數(shù)g（x）在定義域（-1，+∞）上是增函數(shù)；
當(dāng)0＜1-a＜1即0＜a＜1時(shí)，由$\left\{\begin{array}{l}{g′（x）＞0}\\{x+1＞0}\end{array}\right.$得到-1＜x＜-$\sqrt{1-a}$或x＞$\sqrt{1-a}$，
∴：當(dāng)a≥0時(shí)，函數(shù)g（x）的遞增區(qū)間是（-1，-$\sqrt{1-a}$）和（$\sqrt{1-a}$，+∞），遞減區(qū)間是（-$\sqrt{1-a}$，$\sqrt{1-a}$）；
當(dāng)1-a＞1即a＜0時(shí)，由$\left\{\begin{array}{l}{g′（x）＞0}\\{x+1＞0}\end{array}\right.$得到：x＞$\sqrt{1-a}$，
∴：當(dāng)a≥0時(shí)，函數(shù)g（x）的遞增區(qū)間是（$\sqrt{1-a}$，+∞），遞減區(qū)間是（-1，$\sqrt{1-a}$），
（2）若函數(shù)g（x）是“中值平衡函數(shù)”，則存在A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），（-1＜x₁＜x₂）使得
g′（x₀）=$\frac{f{（x}_{1}）-f{（x}_{2}）}{{x}_{1}{-x}_{2}}$即$\frac{2a}{1+\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}}{+x}_{1}{+x}_{2}-2$=$\frac{2aln\frac{1{+x}_{1}}{1{+x}_{2}}}{{x}_{1}{-x}_{2}}$+x₁+x₂-1，
即aln$\frac{1{+x}_{1}}{1{+x}_{2}}$=$\frac{2a{（x}_{1}{-x}_{2}）}{1{+x}_{1}+1{+x}_{2}}$，（*），
當(dāng)a=0時(shí)，（*）對(duì)任意的-1＜x₁＜x₂都成立，所以函數(shù)g（x）是“中值平衡函數(shù)”，且函數(shù)g（x）的“中值平衡切線”有無數(shù)條； 
當(dāng)a≠0時(shí)，設(shè)$\frac{1{+x}_{1}}{1{+x}_{2}}$=t，則方程lnt=$\frac{2（t-1）}{t+1}$在區(qū)間（0，1）上有解，
記函數(shù)h（t）=lnt-$\frac{2（t-1）}{t+1}$，則h′（t）=$\frac{1}{t}$-$\frac{4}{{（t+1）}^{2}}$=$\frac{{（t-1）}^{2}}{{t（t+1）}^{2}}$≥0，
所以當(dāng)0＜t＜1時(shí)，h（t）＜h（1）=0，即方程lnt=$\frac{2（t-1）}{t+1}$在區(qū)間（0，1）上無解，
即函數(shù)g（x）不是“中值平衡函數(shù)”．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查新定義問題，考查轉(zhuǎn)化思想，是一道難題．