Question

已知函數(shù)f（x）=sin（x+θ）+cos（x+θ）是偶函數(shù)，且θ∈[0，

π

2

]，則θ的值為

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：由偶函數(shù)的定義可得，f（x）=f（-x），可取x=

π

2

，代入函數(shù)式，應用誘導公式和同角三角函數(shù)的關系式，化簡即得，注意θ的范圍．

解答： 解：∵f（x）是偶函數(shù)
∴f（x）=f（-x）
∴f（

π

2

）=f（-

π

2

）
即sin（

π

2

+θ）+cos（

π

2

+θ）=sin（-

π

2

+θ）+cos（-

π

2

+θ）
∴cosθ-sinθ=-cosθ+sinθ
∴cosθ-sinθ=0
∴tanθ=1，
∵θ∈[0，

π

2

]，
∴θ=

π

4

．
故答案為：

π

4

．

點評：本題考查函數(shù)的奇偶性及應用，考查誘導公式和同角三角函數(shù)的基本關系式，屬于基礎題．