Question

15．若不等式3^2x-k•3^x+4≥0對(duì)于任意x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 令t=3^x（t＞0），運(yùn)用參數(shù)分離可得k≤t+$\frac{4}{t}$的最小值，運(yùn)用基本不等式可得最小值，即可得到k的范圍．

解答 解：令t=3^x（t＞0），不等式3^2x-k•3^x+4≥0對(duì)于任意x∈R恒成立，
即為t²-kt+4≥0（t＞0）恒成立，
即有k≤t+$\frac{4}{t}$的最小值，
由t+$\frac{4}{t}$≥2$\sqrt{t•\frac{4}{t}}$=4，當(dāng)且僅當(dāng)t=2取得最小值4．
則有k≤4．
即k的取值范圍是（-∞，4]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的恒成立問(wèn)題的解法，注意運(yùn)用換元法和指數(shù)函數(shù)的值域，由參數(shù)分離和基本不等式可得最小值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．