Question

已知函數(shù)f（x）=kx-

1

x

，且f（1）=1．
（1）求實數(shù)k的值及函數(shù)的定義域；
（2）判斷函數(shù)在（0，+∞）上的單調(diào)性，并用定義加以證明．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)的定義域及其求法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由f（1）=1，代入求出即可；（2）由（1）求出函數(shù)的表達式，利用定義法證出即可．

解答： （1）解：∵f（1）=1，
∴k-1=1，k=2，
∴f（x）=2x-

1

x

，定義域為：{x|x≠0}；
（2）證明：設(shè)?x₁＜x₂＜0，
f（x₁）-f（x₂）
=2x₁-

1

x1

-（2x₂-

1

x2

）
=（x₁-x₂）（2+

1

x1x2

），
∵x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（-∞，0）上是增函數(shù)，
同理可證：f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．

點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，利用定義證明是判斷函數(shù)的單調(diào)性的方法之一，本題是一道基礎(chǔ)題．