【題目】已知函數(shù)， ，其中為常數(shù).

（1）當，且時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值；

（2）已知， ，若函數(shù)有2個零點， 有6個零點，試確定的值.

【答案】（1）見解析.（2）.

【解析】試題分析：（1）求出，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間， 求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得的極值；（2）若函數(shù)存在2個零點，則方程有2個不同的實根，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)圖象可得，而有6個零點，故方程與都有三個不同的解，可得,結(jié)合可得結(jié)果.

試題解析：（1）因為，所以，令或（舍）.

當時， ，函數(shù)單調(diào)遞減； 時， ，函數(shù)單調(diào)遞增.

因此的極小值為，無極大值.

（2）若函數(shù)存在2個零點，則方程有2個不同的實根，設(shè)，

則.令，得；

令，得，或， 所以在區(qū)間， 內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，且當時，令，可得，所以， ； ， ，因此函數(shù)的草圖如圖所示，

所以的極小值為.

由的圖象可知.

因為，所以令，得或，即或，

而有6個零點，故方程與都有三個不同的解，所以，且，所以.

又因為， ，所以.

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維修次數(shù)

8

9

10

11

12

頻數(shù)

10

20

30

30

10

記x表示1臺機器在三年使用期內(nèi)的維修次數(shù)，y表示1臺機器在維修上所需的費用（單位：元），表示購機的同時購買的維修服務(wù)次數(shù).

（1）若=10，求y與x的函數(shù)解析式；

（2）若要求“維修次數(shù)不大于”的頻率不小于0.8，求n的最小值；

（3）假設(shè)這100臺機器在購機的同時每臺都購買10次維修服務(wù)，或每臺都購買11次維修服務(wù)，分別計算這100臺機器在維修上所需費用的平均數(shù)，以此作為決策依據(jù)，購買1臺機器的同時應(yīng)購買10次還是11次維修服務(wù)？

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等級

不合格

合格

得分

頻數(shù)

6

24

（1）求的值；

（2）用分層抽樣的方法，從評定等級為“合格”和“不合格”的學(xué)生中抽取10人進行座談，現(xiàn)再從這10人中任選4人，記所選4人的量化總分為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；

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