Question

14．如圖，已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上有一個(gè)點(diǎn)A，它關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為B，點(diǎn)F為橢圓的右焦點(diǎn)，且滿足AF⊥BF，當(dāng)∠ABF=$\frac{π}{12}$時(shí)，橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

Answer 1

分析 設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F₁，連結(jié)AF₁，BF₁，通過(guò)|AB|=|F₁F|=2c，所以在Rt△ABF中，|AF|=2csin$\frac{π}{12}$，
|BF|=2ccos$\frac{π}{12}$，由橢圓定義，轉(zhuǎn)化求解離心率即可．

解答 解：設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F₁，連結(jié)AF₁，BF₁，由對(duì)稱性及AF⊥BF可知，四邊形AFBF₁是矩形，所以|AB|=|F₁F|=2c，所以在Rt△ABF中，|AF|=2csin$\frac{π}{12}$，
|BF|=2ccos$\frac{π}{12}$，由橢圓定義得：
2c（cos$\frac{π}{12}$+sin$\frac{π}{12}$）=2a，即：
e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{cos\frac{π}{12}+sin\frac{π}{12}}$=$\frac{1}{\sqrt{2}sin（\frac{π}{4}+\frac{π}{12}）}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

故答案為：$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．