Question

12．因發(fā)生意外交通事故，一輛貨車上的某種液體泄漏到一漁塘中．為了治污，根據環(huán)保部門的建議，現(xiàn)決定在漁塘中投放一種可與污染液體發(fā)生化學反應的藥劑．已知每投放a（1≤a≤4，且a∈R）個單位的藥劑，它在水中釋放的濃度y（克/升）隨著時間x（天）變化的函數(shù)關系式近似為y=a•f（x），其中f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{16}{8-x}-1（0≤x≤4）}\\{5-\frac{1}{2}（4＜x≤10）}\end{array}\right.$．若多次投放，則某一時刻水中的藥劑濃度為每次投放的藥劑在相應時刻所釋放的濃度之和．根據經驗，當水中藥劑的濃度不低于4（克/升）時，它才能起到有效治污的作用．
（Ⅰ）若一次投放4個單位的藥劑，則有效治污時間可達幾天？
（Ⅱ）若第一次投放2個單位的藥劑，6天后再投放a個單位的藥劑，要使接下來的4天中能夠持續(xù)有效治污，試求a的最小值（精確到0.1，參考數(shù)據：$\sqrt{2}$取1.4）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過a=4可知y=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{64}{8-x}-4（0≤x≤4）}\\{20-2x（4＜x≤10）}\end{array}\right.$，分別令每段對應函數(shù)值大于等于4，計算即得結論；
（Ⅱ）通過化簡、利用基本不等式可知y=2•（5-$\frac{1}{2}$x）+a[$\frac{16}{8-（x-6）}$-1]=（14-x）+$\frac{16a}{14-x}$-a-4≥$8\sqrt{a}$-a-4，再令$8\sqrt{a}$-a-4≥4，計算即得結論．

解答 解：（Ⅰ）∵a=4，
∴y=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{64}{8-x}-4（0≤x≤4）}\\{20-2x（4＜x≤10）}\end{array}\right.$，
當0≤x≤4時，由$\frac{64}{8-x}$-4≥4，解得x≥0，
∴此時0≤x≤4；
當4＜x≤10時，由20-2x≥4，解得x≤8，
∴此時4＜x≤8；
綜上所述，0≤x≤8，
即若一次投放4個單位的制劑，則有效治污時間可達8天；
（Ⅱ）當6≤x≤10時，y=2•（5-$\frac{1}{2}$x）+a[$\frac{16}{8-（x-6）}$-1]
=10-x+$\frac{16a}{14-x}$-a
=（14-x）+$\frac{16a}{14-x}$-a-4，
∵14-x∈[4，8]，而1≤a≤4，
∴$4\sqrt{a}$∈[4，8]，
∴y=（14-x）+$\frac{16a}{14-x}$-a-4≥2$\sqrt{（14-x）•\frac{16a}{14-x}}$-a-4=$8\sqrt{a}$-a-4，
當且僅當14-x=$\frac{16a}{14-x}$即x=14-4$\sqrt{a}$時，y有最小值為$8\sqrt{a}$-a-4，
令$8\sqrt{a}$-a-4≥4，解得24-16$\sqrt{2}$≤a≤4，
∴a的最小值為24-16$\sqrt{2}$≈1.6．

點評 本題考查函數(shù)模型的選擇與應用，考查分析問題、解決問題的能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．