Question

7．如圖，E為⊙O上一點(diǎn)，點(diǎn)A在直徑BD的延長線上，過點(diǎn)B作⊙O的切線交AE的延長線于點(diǎn)C，CE=CB．
（1）證明：AE²=AD•AB．
（2）若AE=4，CB=6，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）證明AC是⊙O的切線，根據(jù)切割線定理可得：AE²=AD•AB．
（2）根據(jù)切割線定理求出AD，即可求⊙O的半徑．

解答 （1）證明：∵過點(diǎn)B作⊙O的切線交AE的延長線于點(diǎn)C，
∴∠CBO=∠CBE+∠OBE=90°．
∵CE=CB，OE=OB，
∴∠CEB=∠CBE，∠OEB=∠OBE，
∴∠CEO=∠CEB+∠OEB=∠CBE+∠OBE=90°，
∴CE⊥OE，
∵OE是⊙O的半徑，
∴AC是⊙O的切線，
根據(jù)切割線定理可得AE²=AD•AB．
（2）解：∵CE=CB=6，AE=4，
∴AC=10，
∴AB=8
∵AE²=AD•AB，AE=4，
∴4²=AD•8，
∴AD=2，
∴BD=8-2=6，
∴⊙O的半徑為3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的切線的證明，考查切割線定理的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．