Question

13．已知A，B，P是直線l上三個(gè)相異的點(diǎn)，平面內(nèi)的點(diǎn)O∉l，若正實(shí)數(shù)x，y滿足$4\overrightarrow{OP}=2x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$，則$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$的最小值為（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• B． $\frac{{3+2\sqrt{2}}}{4}$
• C． $\frac{{3+\sqrt{2}}}{4}$
• D． $\frac{{3-\sqrt{2}}}{4}$

Answer 1

分析 由題意可得，x與y的關(guān)系，化簡所求的表達(dá)式，展開利用基本不等式即可求解．

解答 解：A、B、P是直線l上三個(gè)點(diǎn)，且正實(shí)數(shù)x，y滿足$4\overrightarrow{OP}=2x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$，
可得：$\frac{x}{2}+\frac{y}{4}=1$，
則$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$=（$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$）（$\frac{x}{2}+\frac{y}{4}$）=$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$+$\frac{x}{2y}$+$\frac{y}{4x}$
≥$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$+2$\sqrt{\frac{x}{2y}•\frac{y}{4x}}$=$\frac{3}{4}$$+\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{3+2\sqrt{2}}{4}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{x}{2y}=\frac{y}{4x}$，即y=$\sqrt{2}$x，
此時(shí)x=4-2$\sqrt{2}$，y=4$\sqrt{2}$-4時(shí)取等號．
故選：B．

點(diǎn)評 本題主要考查了向量的共線定理的應(yīng)用，基本不等式求解最值的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{4}$y=1．