Question

（2012•湘潭模擬）設函數(shù)f（x）=Acosωx（A＞0，ω＞0）的部分圖象如圖所示，其中△PQR為等腰直角三角形，∠PQR=

π

2

，PR=1．求：
（1）函數(shù)f（x）的解析式；
（2）函數(shù)y=f(x)-

1

4

在x∈[0，10]時的所有零點之和．

Answer 1

分析：（1）先利用函數(shù)圖象確定函數(shù)的周期，從而確定ω的值，再利用△PQR為等腰直角三角形，求得函數(shù)f（x）的振幅A，從而確定函數(shù)解析式；
（2）先解方程f（x）=

1

4

，得x=2k+

1

3

或x=2k+

5

3

（k∈Z），再令k=0，1，2，3，4，即可得x∈[0，10]時的所有零點，求和即可

解答：解：（1）由已知PR=1，
∴T=2=

2π

ω

，∴ω=π
∵△PQR為等腰直角三角形，
∴Q到x軸的距離即為A=

1

2

∴f(x)=

1

2

cosπx；     
（2）由f(x)-

1

4

=0，得cosπx=

1

2

，故x=2k+

1

3

或x=2k+

5

3

（k∈Z），
所以當x∈[0，10]時的所有零點之和為S=(

1

3

+

5

3

)+(

7

3

+

11

3

)+…+(

25

3

+

29

3

)=50．

點評：本題主要考查了y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)的圖象和性質，由其部分函數(shù)圖象，求參數(shù)值的方法和技巧，簡單的三角方程的解法，屬基礎題