Question

已知三棱錐P－ABC中，PA＝PB，CB⊥平面PAB，M為PC中點，AN＝3NB，

(Ⅰ)求證：MN⊥AB；

(Ⅱ)當(dāng)∠APB＝，BC＝2，AB＝4時，求MN的長．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)證：取PB中點Q，連QN和QM 　　∵M(jìn)和Q分別為PC和PB的中點； 　　∴MQ∥CB 　　∵CB⊥平面PAB，∴MQ⊥平面PAB， 　　∴MQ⊥AB ① 　　取AB的中點D，連PD，由PA＝PB可得 　　PD⊥AB， 　　由AN＝3NB，AD＝DB可得BN＝ND． 　　∴Q和N分別為PB和DB的中點， 　　∴QN∥PD，則QN⊥AB ② 　　由①②及MQ與QN相交，得AB⊥平面QMN， 　　則AB⊥MN． 　　(Ⅱ)解：∵CB⊥平面PAB，∴CB⊥PD 　　又MQ∥CB，QN∥PD．則MQ⊥QN，即∠MQN＝ 　　在△PAB中，由PA＝PB，∠APB＝，AB＝4，得PD＝2 　　在Rt△NMQ中，MN＝