Question

5．已知f（x）=e^x，g（x）=lnx，若f（t）=g（s），則當(dāng)s-t取得最小值時(shí)，f（t）所在區(qū)間是（　�。�

• A． （ln2，1）
• B． （$\frac{1}{2}$，ln2）
• C． （$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{e}$）
• D． （$\frac{1}{e}$，$\frac{1}{2}$）

Answer 1

分析 求出s-t=e^a-lna，（a＞0），令h（a）=e^a-$\frac{1}{a}$，求出h（a）的最小值，驗(yàn)證即可．

解答 解：令f（t）=g（s）=a，即e^t=lns=a＞0，
∴t=lna，s=e^a，
∴s-t=e^a-lna，（a＞0），
令h（a）=e^a-lna，
h′（a）=e^a-$\frac{1}{a}$
∵y=e^a遞增，y=$\frac{1}{a}$遞減，
故存在唯一a=a₀使得h′（a）=0，
0＜a＜a₀時(shí)，e^a＜$\frac{1}{a}$，h′（a）＜0，
a＞a₀時(shí)，e^a＞$\frac{1}{a}$，h′（a）＞0，
∴h（a）_min=h（a₀），
即s-t取最小值是時(shí)，f（t）=a=a₀，
由零點(diǎn)存在定理驗(yàn)證${e}^{{a}_{0}}$-$\frac{1}{{a}_{0}}$=0的根的范圍：
a₀=$\frac{1}{2}$時(shí)，${e}^{{a}_{0}}$-$\frac{1}{{a}_{0}}$＜0，
a₀=ln2時(shí)，${e}^{{a}_{0}}$-$\frac{1}{{a}_{0}}$＞0，
故a₀∈（$\frac{1}{2}$，ln2），
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，考查函數(shù)的單調(diào)性以及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．