Question

3．如圖，在正三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，AB=2，A₁A=2$\sqrt{3}$，D，F(xiàn)分別是棱AB，AA₁的中點，E為棱AC上的動點，則△DEF周長的最小值為$\sqrt{7}$+2．

Answer 1

分析 由正三棱柱A₁B₁C₁-ABC的性質(zhì)可得：AA₁⊥AB，AA₁⊥AC．在Rt△ADF中，利用勾股定理可得DF=2．因此只要求出DE+EF的最小值即可得出．把底面ABC展開與側(cè)面ACC₁A₁在同一個平面，如圖所示，只有當(dāng)三點D，E，F(xiàn)在同一條直線時，DE+EF取得最小值．利用余弦定理即可得出．

解答 解：由正三棱柱A₁B₁C₁-ABC，可得AA₁⊥底面ABC，∴AA₁⊥AB，AA₁⊥AC．
在Rt△ADF中，DF=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{1}^{2}}$=2．
把底面ABC展開與側(cè)面ACC₁A₁在同一個平面，如圖所示，
只有當(dāng)三點D，E，F(xiàn)在同一條直線時，DE+EF取得最小值．
在△ADE中，∠DAE=60°+90^°=150^°，由余弦定理可得：
DE=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{1}^{2}-2\sqrt{3}×cos15{0}^{°}}$=$\sqrt{7}$．
∴△DEF周長的最小值=$\sqrt{7}$+2．
故答案為：$\sqrt{7}$+2．

點評 本題考查了空間幾何位置關(guān)系、余弦定理、側(cè)面展開圖，考查了轉(zhuǎn)化能力、數(shù)形結(jié)合能力、推理能力與計算能力，屬于難題．