Question

17．設(shè)f（x）=（m+1）x²-mx+m-1．
（1）若不等式f（x）＞0的解集為R，求m的取值范圍；
（2）若不等式f（x）＞0在[-1，1]上恒成立，求m的取值范圍；
（3）解關(guān)于x的不等式f（x）-（m+4）x-m+5≥0．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意可知m+1＞0，△=m²-4（m+1）（m-1）＜0，求解即可；
（2）需對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)分類討論：系數(shù)等于零，大于零和小于零．利用二次函數(shù)分別求解，最后求并集即可；
（3）不等式可整理為（m+1）x²-2（m+2）x+4≥0，對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)分類，當(dāng)為零時(shí)和不等于零時(shí)，然后利用因式分解判斷根，通過討論根的大小得出解集．

解答 解：（1）f（x）＞0的解集為R，
∴m+1＞0，
△=m²-4（m+1）（m-1）＜0，
∴m＞$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
（2）若不等式f（x）＞0在[-1，1]上恒成立，
當(dāng)m=-1時(shí)，顯然不成立，
∵f（1）=m，f（-1）=3m，
當(dāng)m+1＞0時(shí)，只需
f（-1）＞0，f（1）＞0，$\frac{m}{2m+2}$＞1或$\frac{m}{2m+2}$＜-1，
∴無解；
當(dāng)△＜0時(shí)，即m²-4（m+1）（m-1）＜0，
∴m＞$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
∴當(dāng)m+1＜0時(shí)，只需
f（-1）＞0，f（1）＞0，
解得無解，
∴m的取值范圍為m＞$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
（3）f（x）-（m+4）x-m+5≥0，
∴（m+1）x²-2（m+2）x+4≥0，
當(dāng)m=-1時(shí)，x≤2；
當(dāng)m≠-1時(shí)，
∴（x-2）（x-$\frac{2}{m+1}$）≥0，
∴當(dāng)m=0時(shí)，x∈R，
當(dāng)m＞0或m＜-1時(shí)，x＞2或x＜$\frac{2}{m+1}$，
當(dāng)-1＜m＜0時(shí)，x＞$\frac{2}{m+1}$或x＜2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)和分類討論，難點(diǎn)是對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)的分類和對(duì)根大小的討論．