Question

設(shè)e為自然對數(shù)的底數(shù)，已知直線l：y=-e^-t（x-t）+e^-t，t＞-1，則直線l與兩條坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積的最大值等于

2

e

．

Answer 1

分析：分別令x=0與y=0可求得l與兩條坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)，于是可得到所圍成的三角形面積的表達(dá)式，繼而可利用導(dǎo)數(shù)法求其最大值．

解答：解：∵直線l：y=-e^-t（x-t）+e^-t，
令x=0，y=（t+1）e^-t，即A（0，（t+1）e^-t）
令y=0，x=t+1，故B（t+1，0），
∵t＞-1，
∴S_△OAB=

1

2

|t+1|•|t+1|e^-t=

1

2

（t²+2t+1）e^-t，
∴S′_△OAB=

1

2

（2t+2）e^-t+

1

2

（t²+2t+1）e^-t×（-1）=

1

2

e^-t（1-t²），
∵t＞-1，
∴當(dāng)t=1時，S′_△OAB=0，
當(dāng)t＞1時，S′_△OAB＜0，當(dāng)-1＜t＜1時，S′_△OAB，＞0，
∴當(dāng)t=1時，S_△OAB有極大值，
∵S′_△OAB=0的t的值唯一，
∴S_△OAB的極大值就是最大值．
∴當(dāng)t=1時，S_△OAB有最大值，
S_△OAB的最大值為

1

2

×（1+1）（1+1）e^-1=

2

e

．
故答案為：

2

e

．

點評：本題考查直線的一般式方程，考查三角形面積的表達(dá)式及其應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)法求最值中的應(yīng)用，屬于中檔題．