Question

已知點(diǎn)直線，為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，且.
（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；
（2）、是軌跡上異于坐標(biāo)原點(diǎn)的不同兩點(diǎn)，軌跡在點(diǎn)、處的切線分別為、，且，
、相交于點(diǎn)，求點(diǎn)的縱坐標(biāo).

Answer 1

（1）動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為；（2）點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.

試題分析：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，直接利用題中的條件列式并化簡(jiǎn)，從而求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2）先設(shè)點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)求出曲線在點(diǎn)和點(diǎn)處的切線方程，并將兩切線方程聯(lián)立，求出交點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩切線垂直得到，從而求出點(diǎn)的縱坐標(biāo).
試題解析：（1）設(shè)，則，∵，
∴． 即，即，
所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡M的方程．   4分
（2）設(shè)點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、，
∵、分別是拋物線在點(diǎn)、處的切線，
∴直線的斜率，直線的斜率.
∵,
∴, 得.  ①
∵、是拋物線上的點(diǎn),
∴
∴直線的方程為,直線的方程為.
由 解得
∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.