Question

5．在三棱錐A-BCD中，AC=BD=3，AD=BC=4，AB=CD=m，則m的取值范圍是（　�。�

• A． （1，5）
• B． （1，7）
• C． （$\sqrt{7}$，7）
• D． （$\sqrt{7}$，5）

Answer 1

分析 把三棱錐A-BCD放置于一個長方體中，由長方體棱長和面對角線的關系推出m＜5，再由∠BAC為銳角得到
3²+m²-4²＞0，由此推得m$＞\sqrt{7}$．

解答 解：將三棱錐A-BCD放置于一個長方體中，
如圖：
設長方體過一個頂點的三條棱長分別為a，b，c，
則$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+^{2}=9}\\{^{2}+{c}^{2}=16}\\{{a}^{2}+{c}^{2}={m}^{2}}\end{array}\right.$，
∴a²+c²+2b²=25，
則m²=a²+c²＜a²+c²+2b²=25，∴m＜5；
∵△BNC為△BAC的射影，且∠BNC=90°，∴∠BAC為銳角．
則3²+m²-4²＞0，即$m＞\sqrt{{4}^{2}-{3}^{2}}=\sqrt{7}$．
∴m的取值范圍是（$\sqrt{7}$，5）．
故選：D．

點評 本題考查棱錐的結構特征，考查了學生的空間想象能力和思維能力，體現了數學轉化思想方法，是中檔題．