Question

13．已知在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為菱形，∠ABC=60°，AB=PA=2，G、E、F分別為AB、BC、PD的中點(diǎn)
（Ⅰ）求證：AF∥平面PGC；
（Ⅱ）若過點(diǎn)A作AM⊥PE，M為垂足，求證：AM⊥PC．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取PC的中點(diǎn)H，證明四邊形AGHF是四邊形即可證明AF∥平面PGC；
（Ⅱ）先證明BC⊥平面PAE，然后證明AM⊥面PBC即可．

解答 證明：（Ⅰ）取PC的中點(diǎn)H，
則HF是△PCD的中位線，
則HF∥CD，且HF=$\frac{1}{2}$CD，
∵G是AB的中點(diǎn)，
∴AG=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$CD=HF，AG∥CD∥FH，
則四邊形AGHF是四邊形，
∴AF∥GH，
∵AF?平面PGC；
GH?平面PGC；
∴AF∥平面PGC；
（Ⅱ）∵E為BC的中點(diǎn)，底面ABCD為菱形，
∴BC⊥AE，
∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥BC，
∴BC⊥平面PAE，
∵AM?平面PAE
∴BC⊥AM，
∵AM⊥PE，
∴AM⊥面PBC，
∴AM⊥PC．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線面平行和線面垂直的判斷，要求熟練掌握相應(yīng)的判定定理和性質(zhì)定理．