Question

拋物線C₁：y²=4x，雙曲線C₂：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），若C₁的焦點(diǎn)恰為C₂的右焦點(diǎn)，則2a+b的最大值為（　�。�

• A、

  5

• B、5
• C、

  2

• D、2

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：求出拋物線的焦點(diǎn)（1，0），即有c=1，即a²+b²=1，（a＞0，b＞0），設(shè)a=cosα，b=sinα（0＜α＜

π

2

），運(yùn)用兩角和的正弦公式和正弦函數(shù)的值域，即可得到最大值．

解答： 解：拋物線C₁：y²=4x的焦點(diǎn)為（1，0），
即有雙曲線的c=1，
即a²+b²=1，（a＞0，b＞0），
設(shè)a=cosα，b=sinα（0＜α＜

π

2

），
則2a+b=2cosα+sinα=

5

（

2

5

cosα+

1

5

sinα）=

5

sin（α+θ）（其中tanθ=2，θ為銳角），
當(dāng)α+θ=

π

2

時(shí)，2a+b取得最大值，且為

5

．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線和雙曲線的方程和性質(zhì)，主要考查雙曲線的a，b，c的關(guān)系，運(yùn)用三角換元和正弦函數(shù)的值域是解題的關(guān)鍵．