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已知雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0），右頂點是A，若雙曲線C右支上存在兩點B、C，使△ABC為正三角形，則雙曲線C的離心率e的取值范圍是
 
．
考點：雙曲線的簡單性質
專題：圓錐曲線的定義、性質與方程
分析：要使該雙曲線右支上存在兩點B，C使得△ABC為正三角形，則需過右頂點A，且斜率為
3
3
的直線與雙曲線有兩個不同的交點，也只需其斜率大于漸近線y=
b
a
x的斜率，再由離心率公式從而得解．
解答： 解：由題意，雙曲線的漸近線方程為y=±
b
a
x，
要使該雙曲線右支上存在兩點B，C使得△ABC為正三角形，
則需過右頂點A，且斜率為
3
3
的直線與雙曲線有兩個不同的交點，
也只需其斜率大于漸近線y=
b
a
x的斜率．
∴
3
3
＞
b
a
，∴b＜
3
3
a，
即b2＜
1
3
a2，
即有c2＜a2+
1
3
a2，
即為c＜
2
3
3
a，
即有1＜e＜
2
3
3
．
故答案為：（1，
2
3
3
）．
點評：本題以雙曲線為載體，考查雙曲線的漸近線和離心率的范圍，考查直線與雙曲線的交點，解題的關鍵是將問題轉化為過右頂點A，且斜率為
3
3
的直線與雙曲線有兩個不同的交點．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設直線l的斜率k滿足|k|＜1，求直線l的傾斜角α的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

F是雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的右焦點，過點F向C的一條漸近線引垂線，垂足為A，交另一條漸近線于點B．若2
AF
=
FB
，則C的離心率是（　�。�
A、
2
3
3
B、
14
3
C、
2
D、2

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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）、g（x）的定義域分別為DJ，DE，且DJ⊆DE．若對于任意x⊆DJ，都有g（x）=f（x），則稱函數g（x）為f（x）在DE上的一個延拓函數．設f（x）=ex（x+1）（x＜0），g（x）為f（x）在R上的一個延拓函數，且g（x）是奇函數，給出以下命題：
①當x＞0時，g（x）=e-x（x-1）；
②函數g（x）有5個零點；
③g（x）＞0的解集為（-1，0）∪（1，+∞）；
④函數g（x）的極大值為1，極小值為-1；
⑤?x1，x2∈R，都有|g（x1）-g（x2）|＜2
其中正確的命題是
 
（填上所有正確的命題序號）

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科目：高中數學 來源： 題型：

“x＜1”是“l(fā)og2（x+1）＜1”的（　�。�
A、充分而不必要條件
B、必要而不充分條件
C、充要條件
D、既不充分也不必要條件

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科目：高中數學 來源： 題型：

寫出求解二元一次方程組
3x-2y=8
4x+y=7
的一個算法．

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科目：高中數學 來源： 題型：

拋物線C1：y2=4x，雙曲線C2：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0），若C1的焦點恰為C2的右焦點，則2a+b的最大值為（　�。�
A、
5
B、5
C、
2
D、2

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知數列：2×
1
2
，3×
1
4
，4×
1
8
，5×
1
16
…（n+1）×
1
2n
，求數列的前n項和Sn．

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科目：高中數學 來源： 題型：

從某大學中隨機選取7名女大學生，其身高x（單位：cm）和體重y（單位：kg）數據如表：
 編號 1 23 45 67
 身高x 163 164 165 166 167 168 169
 體重y 5252 5355 5456 56
（1）求根據女大學生的身高x預報體重y的回歸方程；
（2）利用（1）中的回歸方程，分析這7名女大學生的身高和體重的變化，并預報一名身高為172cm的女大學生的體重；
（3）試分析說明回歸方程預報的效果．
附：1．回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：
b
=
n
i=1
(xi-
.
x
)(yi-
.
y
)
n
i=1
(xi-
.
x
)2
，
a
=
.
y
-
b
.
x
．
2．反映回歸效果的公式為：R2=1-
n
i-1
(y1
y1
)2
n
i=1
(yi-
.
y
)
，其中R2越接近于1，表示回歸的效果越好．
3．參考數據：
7
i=1
（y1-
yi
）2=2.25．

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