Question

20．設a＞0，b＞0，且a+b=$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$．證明：
（�。゛+b≥2；
（ⅱ）a²+a＜2與b²+b＜2不可能同時成立．

Answer 1

分析 （ⅰ）由a＞0，b＞0，結合條件可得ab=1，再由基本不等式，即可得證；
（ⅱ）運用反證法證明．假設a²+a＜2與b²+b＜2可能同時成立．結合條件a＞0，b＞0，以及二次不等式的解法，可得0＜a＜1，且0＜b＜1，這與ab=1矛盾，即可得證．

解答 證明：（�。┯蒩＞0，b＞0，
則a+b=$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$=$\frac{a+b}{ab}$，
由于a+b＞0，則ab=1，
即有a+b≥2$\sqrt{ab}$=2，
當且僅當a=b取得等號．
則a+b≥2；
（ⅱ）假設a²+a＜2與b²+b＜2可能同時成立．
由a²+a＜2及a＞0，可得0＜a＜1，
由b²+b＜2及b＞0，可得0＜b＜1，
這與ab=1矛盾．
a²+a＜2與b²+b＜2不可能同時成立．

點評 本題考查不等式的證明，主要考查基本不等式的運用和反證法證明不等式的方法，屬于中檔題．