Question

18．在平面直角坐標(biāo)系xOy系中，已知直線l：2x+y+4=0，圓C：x²+y²+2x-2by+1=0（b為正實(shí)數(shù)）
（1）若直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，且AB=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，求圓C的方程；
（2）作直線CD垂直于直線l，垂足為D，以D為圓心，以DC為半徑作圓D，記圓C的周長(zhǎng)為l（b），圓C與圓D的面積之和g（b），設(shè)f（b）=$\frac{g（b）}{l（b）}$，求函數(shù)f（b）的最小值及對(duì)應(yīng)的b的值．

Answer 1

分析 （1）化圓的一般方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心坐標(biāo)和半徑，然后由已知結(jié)合垂徑定理求得b，則圓的方程可求；
（2）寫出圓C的周長(zhǎng)為l（b），圓C與圓D的面積之和g（b），代入f（b）=$\frac{g（b）}{l（b）}$，整理后利用基本不等式求最值．

解答 解：（1）如圖，
由圓C：x²+y²+2x-2by+1=0，得（x+1）²+（y-b）²=b²，
∴圓C的圓心為C（-1，b），半徑為b．
圓心C到直線l：2x+y+4=0的距離為d=$\frac{|-2+b+4|}{\sqrt{5}}=\frac{b+2}{\sqrt{5}}$，
又AB=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，由垂徑定理可得：$\frac{4\sqrt{5}}{5}=2\sqrt{^{2}-\frac{（b+2）^{2}}{5}}$，解得：b=2．
∴圓C的方程為（x+1）²+（y-2）²=4；
（2）由題意，l（b）=2πb，
g（b）=$π^{2}+π•\frac{（b+2）^{2}}{5}$=$\frac{6π^{2}+4πb+4π}{5}$，
∴f（b）=$\frac{g（b）}{l（b）}$=$\frac{\frac{6π^{2}+4πb+4π}{5}}{2πb}=\frac{3b}{5}+\frac{2}{5b}+\frac{2}{5}$$≥2\sqrt{\frac{3b}{5}•\frac{2}{5b}}+\frac{2}{5}$=$\frac{2}{5}（\sqrt{6}+1）$．
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{3b}{5}=\frac{2}{5b}$，即b=$\frac{\sqrt{6}}{3}$時(shí)上式“=”成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的一般方程，考查了直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，訓(xùn)練了利用基本不等式求最值，是中檔題．