Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的極值點(diǎn)的個數(shù)；

（2）當(dāng)函數(shù)有兩個極值點(diǎn)，時，求證：.

Answer 1

【答案】（1）分類討論，詳見解析；（2）詳見解析.

【解析】

（1）對求導(dǎo)得，令，再對求導(dǎo)，根據(jù)的取值范圍確定的正負(fù)，即可得解；

（2）不妨設(shè)，由題意，對函數(shù)求導(dǎo)后可得即，由、單調(diào)性可得，再令，求導(dǎo)后可得，即可得證.

（1），.

設(shè)，則.

令，解得.

當(dāng)時，；當(dāng)時，.

.

當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，沒有極值點(diǎn)；

當(dāng)時，，

且當(dāng)時，；當(dāng)時，.

當(dāng)時，有兩個零點(diǎn)，即函數(shù)有兩個極值點(diǎn).

綜上，當(dāng)時，函數(shù)的極值點(diǎn)的個數(shù)為0；當(dāng)時，函數(shù)的極值點(diǎn)的個數(shù)為2.

（2）由（1）知，、為的兩個實數(shù)根，不妨設(shè)，在上單調(diào)遞減.

下面先證，只需證.

，

得，.

設(shè)，，

則，在上單調(diào)遞減，

，，.

函數(shù)在上也單調(diào)遞減，.

要證，只需證，

即證.

設(shè)函數(shù)，，則.

設(shè)，則.

在上單調(diào)遞增，，即.

在上單調(diào)遞增，.

當(dāng)時，，

，.