Question

14．已知二次函數(shù)y=f（x）滿足條件f（0）=$\frac{1}{2}$m，f（x+1）-f（x-1）=4x-2m．（m為已知實(shí)數(shù)）
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）如果函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸的兩個(gè)不同交點(diǎn)在區(qū)間（0，4）內(nèi)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）當(dāng)函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，這兩個(gè)交點(diǎn)能否在點(diǎn)（$\frac{1}{2}$，0）的兩旁？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由$f（0）=\frac{1}{2}m$，可設(shè)$f（x）=a{x^2}+bx+\frac{m}{2}$，結(jié)合f（x+1）-f（x-1）=4x-2m，列式得到a，b與m的關(guān)系，則函數(shù)解析式可求；
（2）由“三個(gè)二次”結(jié)合列關(guān)于m的不等式組，求解不等式組得答案；
（3）由拋物線開(kāi)口向上且f（$\frac{1}{2}$）＞0，可得當(dāng)函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，這兩個(gè)交點(diǎn)不可能在點(diǎn)（$\frac{1}{2}$，0）的兩旁．

解答 解：（1）由$f（0）=\frac{1}{2}m$，可設(shè)$f（x）=a{x^2}+bx+\frac{m}{2}$，
則f（x+1）=ax²+（2a+b）x+a+b+$\frac{m}{2}，f（x-1）=a{x^2}+（-2a+b）x+a-b+\frac{m}{2}$．
由f（x+1）-f（x-1）=4x-2m，得4ax+2b=4x-2m．
∴$a=1，b=-m，f（x）={x^2}-mx+\frac{1}{2}m$；
（2）∵拋物線$f（x）={x^2}-mx+\frac{1}{2}m$與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)在區(qū)間（0，4）內(nèi)，
∴由圖象知m應(yīng)滿足$\left\{\begin{array}{l}△={m^2}-2m＞0\\ 0＜\frac{m}{2}＜4\\ f（0）=\frac{1}{2}m＞0\\ f（4）=16-4m+\frac{1}{2}m＞0.\end{array}\right.$，解得$2＜m＜\frac{32}{7}$．
∴m的取值范圍為$（2，\frac{32}{7}）$；
（3）拋物線$f（x）={x^2}-mx+\frac{1}{2}m$開(kāi)口向上，又$f（\frac{1}{2}）=\frac{1}{4}＞0$，
∴由拋物線的圖象可知，當(dāng)y=f（x）的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，這兩個(gè)交點(diǎn)不可能落在點(diǎn)$（\frac{1}{2}，0）$的兩旁．

點(diǎn)評(píng) 本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，訓(xùn)練了利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵，是中檔題．