Question

19．已知$\overrightarrow{a}$=（-$\frac{2}{3}$，n+1），$\overrightarrow$=（S_n，n）且$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，其中S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}•{a}_{n+9}}$的最大值為$\frac{1}{48}$．

Answer 1

分析 由向量$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，根據(jù)向量的乘法，求得S_n=$\frac{3}{2}$n（n+1），當(dāng)n≥2時(shí)，S_n=$\frac{3}{2}$n（n-1），兩式相減求得a_n=3n，代入$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}•{a}_{n+9}}$=$\frac{1}{3}$•$\frac{1}{n+\frac{9}{n}+10}$≤$\frac{1}{3}$•$\frac{1}{2\sqrt{n•\frac{9}{n}}+10}$，當(dāng)且僅當(dāng)n=$\frac{9}{n}$，即n=3，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}•{a}_{n+9}}$取最大值．

解答 解：由$\overrightarrow{a}$=（-$\frac{2}{3}$，n+1），$\overrightarrow$=（S_n，n），$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，
∴-$\frac{2}{3}$•S_n+（n+1）•n=0，
S_n=$\frac{3}{2}$n（n+1），
當(dāng)n=1時(shí)，S₁=$\frac{3}{2}$×2=3，
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n=$\frac{3}{2}$n（n-1），
兩式相減得：a_n=3n，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}•{a}_{n+9}}$=$\frac{3n}{3（n+1）•3（n+9）}$=$\frac{1}{3}$•$\frac{n}{{n}^{2}+10n+9}$=$\frac{1}{3}$•$\frac{1}{n+\frac{9}{n}+10}$≤$\frac{1}{3}$•$\frac{1}{2\sqrt{n•\frac{9}{n}}+10}$=$\frac{1}{3}$•$\frac{1}{2×3+10}$=$\frac{1}{48}$，
當(dāng)且僅當(dāng)n=$\frac{9}{n}$，即n=3，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}•{a}_{n+9}}$的最大值$\frac{1}{48}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，向量垂直，基本不等的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．