Question

（本小題滿分12分）

如圖， 在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AC＝3，BC＝4，，AA₁＝4，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．

  （Ⅰ）求證：AC⊥BC₁；

  （Ⅱ）求二面角的平面角的正切值．

               

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）略

（Ⅱ）二面角的正切值為

【解析】（Ⅰ）證明：直三棱柱ABC－A₁B₁C₁，底面三邊長(zhǎng)AC=3，BC=4，AB=5，

∴ AC⊥BC，                                            …………………2分

又 AC⊥，且

∴ AC⊥平面BCC₁ ，又平面BCC₁         ……………………………………4分

∴ AC⊥BC₁             ………………………………………………………………5分

（Ⅱ）解法一：取中點(diǎn)，過作于，連接         …………6分

是中點(diǎn)，

∴ ，又平面

∴平面，

又平面，平面

∴

∴  又且

∴平面，平面         ………8分

∴  又

∴是二面角的平面角      ……………………………………10分

AC＝3，BC＝4，AA₁＝4，

∴在中，，，

∴       …………………………………………11分

∴二面角的正切值為  …………………………………………12分

解法二：以分別為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系…………6分

AC＝3，BC＝4，AA₁＝4，

∴， ，，，

∴，

平面的法向量，     …………………8分

設(shè)平面的法向量，

則，的夾角（或其補(bǔ)角）的大小就是二面角的大小  …………9分

則由   令，則，

∴                                          ………………10分

，則   　 ……………11分

∵二面角是銳二面角

∴二面角的正切值為              ………………………… 12分