Question

9．定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f′（x）＞1-f（x），其中f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則下列正確的是（　�。�

• A． ef（1）-e＞e²f（2）-e²
• B． e²⁰¹⁵f（2015）-e²⁰¹⁵＞e²⁰¹⁶f（2016）-e²⁰¹⁶
• C． e²f（2）+e²＞ef（1）+e
• D． e²⁰¹⁶f（2016）+e²⁰¹⁶＜e²⁰¹⁵f（2015）+e²⁰¹⁵

Answer 1

分析 根據(jù)選項(xiàng)中的不等式的形式可以想到構(gòu)造一函數(shù)：設(shè)g（x）=e^xf（x）-e^x，求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)條件可以判斷g′（x）＞0，從而得出g（x）在R上單調(diào)遞增，從而便可判斷A，B錯(cuò)誤；而同理構(gòu)造函數(shù)：h（x）=e^xf（x）+e^x，通過(guò)求導(dǎo)數(shù)，便可判斷出h（x）在R上單調(diào)遞增，這樣便可判斷選項(xiàng)C，D的正誤，從而找出正確答案．

解答 解：設(shè)g（x）=e^xf（x）-e^x，g′（x）=e^xf（x）+e^xf′（x）-e^x=e^x[f（x）+f′（x）-1]；
∵f′（x）＞1-f（x）；
∴f（x）+f′（x）-1＞0；
∴g′（x）＞0；
∴g（x）在R上是增函數(shù)；
∴g（1）＜g（2），即ef（1）-e＜e²f（2）-e²，∴A錯(cuò)誤；
g（2015）＜g（2016），∴B錯(cuò)誤；
同理，設(shè)h（x）=e^xf（x）+e^x，由g′（x）＞0得，h′（x）=e^xf（x）+e^xf′（x）+e^x＞0；
∴h（x）在R上單調(diào)遞增；
∴h（2）＞h（1），h（2016）＞h（2015），∴C正確．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 考查通過(guò)構(gòu)造函數(shù)解決問(wèn)題的方法，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，以及增函數(shù)定義的運(yùn)用，通過(guò)觀察選項(xiàng)中不等式的形式，從而構(gòu)造函數(shù)是本題的關(guān)鍵，并要正確求導(dǎo)．