Question

13．如右圖，三棱錐A-BCD的頂點(diǎn)B、C、D在平面α內(nèi)，CA=AB=BC=CD=DB=2，AD=$\sqrt{6}$，若將該三棱錐以BC為軸轉(zhuǎn)動(dòng)，到點(diǎn)A落到平面α內(nèi)為止，則A、D兩點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路程之和是$\sqrt{3}π$．

Answer 1

分析 由題意畫(huà)出圖形，可得∠AOD為直角，求出OA的長(zhǎng)度，然后利用圓的周長(zhǎng)公式求解．

解答 解：如圖，

取BC中點(diǎn)O，在△ABC和△BCD中，
∵CA=AB=BC=CD=DB=2，∴AO=DO=$\sqrt{3}$，
在△AOD中，AO=DO=$\sqrt{3}$，又AD=$\sqrt{6}$，
∴$cos∠AOD=\frac{A{O}^{2}+D{O}^{2}-A{D}^{2}}{2•AO•DO}$=$\frac{（\sqrt{3}）^{2}+（\sqrt{3}）^{2}-（\sqrt{6}）^{2}}{2×\sqrt{3}×\sqrt{3}}=0$，
則$∠AOD=\frac{π}{2}$，
∴將該三棱錐以BC為軸轉(zhuǎn)動(dòng)，到點(diǎn)A落到平面α內(nèi)時(shí)，A、D兩點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路程都是以O(shè)為圓心，以O(shè)A為半徑的$\frac{1}{4}$圓周，
∴A、D兩點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路程之和是$\frac{1}{2}×2π×OA=\sqrt{3}π$．
故答案為：$\sqrt{3}π$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查多面體和旋轉(zhuǎn)體表面上的最短距離問(wèn)題，考查了空間想象能力和理解能力，訓(xùn)練了圓的周長(zhǎng)公式的應(yīng)用，是中檔題．