Question

8．如圖，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是矩形，且AD=2CD=2，AA₁=2，$∠{A_1}AD=\frac{π}{3}$，若O為AD的中點，且CD⊥A₁O．
（Ⅰ）求證：A₁O⊥平面ABCD；
（Ⅱ）線段BC上是否存在一點P，使得二面角D-A₁A-P的大小為$\frac{π}{3}$？若存在，求出BP的長；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得△A₁AD為等邊三角形，A₁O⊥AD，再由CD⊥A₁O，能證明A₁O⊥平面ABCD．
（Ⅱ）過O作Ox∥AB，以O為原點，建立空間直角坐標系O-xyz，利用向量法能求出當BP的長為$\frac{2}{3}$時，二面角D-A₁A-P的值為$\frac{π}{3}$．

解答 證明：（Ⅰ）∵$∠{A_1}AD=\frac{π}{3}$，且AA₁=AD=2，
∴△A₁AD為等邊三角形
∵O為AD的中點，∴A₁O⊥AD，…（2分）
又CD⊥A₁O，且CD∩AD=D，
∴A₁O⊥平面ABCD．…（3分）
解：（Ⅱ）過O作Ox∥AB，以O為原點，建立空間直角坐標系O-xyz（如圖）
則A（0，-1，0），${A_1}（0，0，\sqrt{3}）$，…（4分）
設P（1，m，0）（m∈[-1，1]），…（5分）
平面A₁AP的法向量為$\overrightarrow{n_1}=（x，y，z）$，
∵$\overrightarrow{A{A_1}}=（0，1，\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{AP}=（1，m+1，0）$，
且$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{AP}=x+（m+1）y=0}\\{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{A{A}_{1}}=y+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，
取z=1，得$\overrightarrow{n_1}=（\sqrt{3}（m+1），-\sqrt{3}，1）$    …（7分）
平面A₁ADD₁的一個法向量為$\overrightarrow{n_2}=（1，0，0）$…（8分）
由題意得$|cos＜\overrightarrow{n_1}，\overrightarrow{n_2}＞|=\frac{1}{2}=|\frac{{\sqrt{3}（m+1）}}{{\sqrt{3{{（m+1）}^2}+3+1}×1}}|$，…（9分）
解得$m=-\frac{1}{3}$或$m=-\frac{5}{3}$（舍去），…（11分）
∴當BP的長為$\frac{2}{3}$時，二面角D-A₁A-P的值為$\frac{π}{3}$．…（12分）

點評 本題考查線面垂直的證明，考查滿足二面角為$\frac{π}{3}$的點是否存在的確定與求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．