解:(1)若a,b,c能構(gòu)成三角形,則
.
①若
時,
.共1種;
②若
時.
.共2種;
同理
時,有3+1=4種;
時,有4+2=6種;
時,有5+3+1=9種;
時,有6+4+2=12種.
于是共有1+2+4+6+9+12=34種.
下面求從
中任取的三個數(shù)a,b,c(a<b<c)的種數(shù):
①若
,
,則
,有7種;
,有6種;
,
,有5種;…;
,有1種.
故共有7+6+5+4+3+2+1=28種.
同理,
時,有6+5+4+3+2+1=21種;
時,有5+4+3+2+1=15種;
時,有4+3+2+1=10種;
時,有3+2+1=6種;
時,有2+1=3種;
時,有1種.這時共有28+21+15+10+6+3+1=84種.
∴a,b,c能構(gòu)成三角形的概率為
=
.
(2)a,b,c能構(gòu)成三角形的充要條件是
.
在坐標系aOb內(nèi)畫出滿足以上條件的區(qū)域(如右圖陰影部分),
由幾何概型的計算方法可知,只求陰影部分的面積與圖中正方形的面積比即可.
又S
陰影=
,于是所要求的概率為
.
分析:(1)討論c的值,從而求出a,b,c能構(gòu)成三角形的個數(shù),然后求出求從
中任取的三個數(shù)a,b,c(a<b<c)的種數(shù),利用古典概型的概率公式解之即可;
(2)a,b,c能構(gòu)成三角形的充要條件是
,在坐標系aOb內(nèi)畫出滿足以上條件的區(qū)域,由幾何概型的計算方法可求出所求.
點評:本題考查古典概型和幾何概型的概率估算公式中的“幾何度量”,可以為線段長度、面積、體積等,而且這個“幾何度量”只與“大小”有關(guān),而與形狀和位置無關(guān),同時考查了運算求解的能力,屬于中檔題.