Question

3．已知函數(shù)f（x）=2^x|2^x-a|+2^x+1-1，其中a為實(shí)數(shù)，若f（x）在R上單調(diào)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為a≤2．．

Answer 1

分析 根據(jù)絕對(duì)值，討論2^x-a的符號(hào)，利用換元法轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)，利用一元二次函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解．

解答 解：①若a≤0，則f（x）=2^x（2^x-a）+2^x+1-1=（2^x）²-a•2^x+2•2^x-1=（2^x）²+（2-a）•2^x-1，
令t=2^x，則t＞0，
則f（t）=t²+（2-a）t-1，則t＞0時(shí)單調(diào)，
對(duì)稱軸$-\frac{2-a}{2}≤0$，即a≤2，此時(shí)a≤0．
②若a＞0，則由2^x-a≥0得2^x≥a，即x≥log₂a，
當(dāng)x≥log₂a時(shí)，f（x）=2^x（2^x-a）+2^x+1-1=（2^x）²+（2-a）•2^x-1，
設(shè)t=2^x，x≥log₂a，∴t≥a
則f（t）=t²+（2-a）t-1，則t≥a時(shí)單調(diào)遞增，
③若2^x-a＜0得2^x＜a，即x＜log₂a，
當(dāng)x＜log₂a時(shí)，f（x）=2^x（a-2^x）+2^x+1-1=-（2^x）²+（2+a）•2^x-1，
設(shè)t=2^x，x＜log₂a，∴0＜t＜a
則f（t）=-t²+（2+a）t-1，0＜t＜a，
則f（t）=$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}+（2-a）t-1，}&{t≥a}\\{-{t}^{2}+（a+2）t-1，}&{0＜t＜a}\end{array}\right.$，
∴a²+（2-a）a-1=2a-1，-a²+（a+2）a-1=2a-1，
即分段函數(shù)在分段點(diǎn)相連，
則對(duì)稱軸滿足$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2-a}{2}≤a}\\{\frac{a+2}{2}≥a}\end{array}\right.$，解得-2≤a≤2，
∵a＞0，∴0＜a≤2，
綜上a≤2．
故答案為：a≤2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷，利用換元法轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．