Question

已知函數f（x）=x|x-a|+2x，若存在a∈[-3，3]，使得關于x的方程f（x）=tf（a）有三個不相等的實數根，則實數t的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數判斷

專題：計算題,函數的性質及應用

分析：注意對a的分類討論，從而確定f（x）的單調性．

解答： 解：當-2≤a≤2時，f（x）在R上是增函數，
則關于x的方程f（x）=tf（a）不可能有三個不相等的實數根，
當a∈（2，3]時，由f（x）=

x2+(2-a)x，x≥a -x2+(2+a)x，x＜a

，
得x≥a時，f（x）=x²+（2-a）x，對稱軸x=

a-2

2

＜a，
則f（x）在x∈[a，+∞）為增函數，此時f（x）的值域為[f（a），+∞）=[2a，+∞），
x＜a時，f（x）=-x²+（2+a）x，對稱軸x=

2+a

2

＜a，
則f（x）在x∈（-∞，

a+2

2

]為增函數，此時f（x）的值域為（-∞，

(a+2)2

4

]，
f（x）在x∈[

a+2

2

，a）為減函數，此時f（x）的值域為（2a，

(a+2)2

4

]，
由存在a∈（2，3]，方程f（x）=tf（a）=2ta有三個不相等的實根，
則2ta∈（2a，

(a+2)2

4

），
即存在a∈（2，3]，使得t∈（1，

(a+2)2

8a

）即可，
令g（a）=

(a+2)2

8a

=

1

8

（a+

4

a

+4），
只要使t＜（g（a））_max即可，而g（a）在a∈（2，3]上是增函數，
∴（g（a））max=g（3）=

25

24

，
故實數t的取值范圍為（1，

25

24

）．
同理可求當a∈[-3，-2）時，t的取值范圍為（1，

25

24

）．
綜上所述，實數t的取值范圍為（1，

25

24

）．

點評：本題考查了根的存在性定理與判斷，分類比較難，屬于難題．