Question

20．已知函數(shù)f（x）=e^x（x³-$\frac{3}{2}$x²-3x+a）．
（1）若曲線f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程為x+y-2=0，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若函數(shù)f（x）有三個極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先利用函數(shù)在某點(diǎn)導(dǎo)數(shù)，即求出切線的斜率，進(jìn)一步求出參數(shù)的值．
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)有幾個極值點(diǎn)，即函數(shù)的導(dǎo)數(shù)有幾個實(shí)數(shù)根，進(jìn)一步建立不等式組，解不等式組求出參數(shù)的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）已知函數(shù)f（x）=e^x（x³-$\frac{3}{2}$x²-3x+a）．
則：f′（x）=e^x（${x}^{3}-\frac{3}{2}{x}^{2}-3x+a$）+e^x（3x²-3x-3）
=e^x（x³+$\frac{3}{2}{x}^{2}$-6x+a-3）
f′（0）=a-3
由于直線方程為x+y-2=0的斜率為-1，
所以：a-3=-1
解得：a=2．
（Ⅱ）函數(shù)f（x）有三個極值點(diǎn)，即f′（x）=e^x（x³+$\frac{3}{2}{x}^{2}$-6x+a-3）有三個不同的實(shí)數(shù)根．
設(shè)k（x）=f′（x）=e^x（x³+$\frac{3}{2}{x}^{2}$-6x+a-3）
由于e^x＞0，
所以：只需滿足g（x）=（x³+$\frac{3}{2}{x}^{2}$-6x+a-3）有三個不同的實(shí)數(shù)根即可．
g′（x）=3x²-3x-6=3（x-2）（x+1）
令g′（x）=0，解得：x=2或-1．
①當(dāng)x＜-1時，g′（x）＞0，所以g（x）為增函數(shù)．
②當(dāng)-1＜x＜2時，g′（x）＜0，所以函數(shù)g（x）為減函數(shù)．
③當(dāng)x＞2時，g′（x）＞0，所以函數(shù)g（x）為增函數(shù)．
所以當(dāng)x=-1時，函數(shù)g（x）取極大值，
當(dāng)x=2時，函數(shù)g（x）取極小值．
即$\left\{\begin{array}{l}g（-1）＞0\\ g（2）＜0\end{array}\right.$，
解不等式組得：$\left\{\begin{array}{l}a＞-\frac{1}{2}\\ a＜13\end{array}\right.$，
即：實(shí)數(shù)a的取值范圍為：$-\frac{1}{2}＜a＜13$．

點(diǎn)評 本題考查的知識要點(diǎn)：利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求切線的斜率，及函數(shù)的極值和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系．即函數(shù)有幾個極值點(diǎn)，即函數(shù)的導(dǎo)數(shù)有幾個實(shí)數(shù)根．及不等式的解法．